Le théorème de Rolle

Le théorème de Rolle s'énonce ainsi :

`f` est une fonction définie sur un intervalle \([a~;b]\) .

Si :

• \(f(a)=f(b)\)  
  
• et la courbe représentative de \(f\) possède une tangente en tout point.
  

Alors il existe un réel \(x_0\) de l'intervalle ouvert  \(]a~;b[\) tel que  `f'(x_0)=0` .

1. Donner une interprétation géométrique de la conclusion de ce théorème.

2. Pour chacune des cinq courbes ci-dessous, répondre aux deux questions suivantes.

    a. Les hypothèses du théorème de Rolle s'appliquent-elles ?

    b. Existe-t-il \(x_0\) dans \(]a~;b[\) tel que  `f'(x_0)=0`  ?

3. En utilisant les courbes de la question précédente, peut-on dire que les hypothèses du théorème de Rolle sont nécessaires à l'existence d'un tel `x_0`  ?